TUGAS 3 PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

BUKTIKAN KEABSAHAN ATURAN PENYIMPULAN BERIKUT:
1. Silogisme
p→q
q→r
.˙. p→r

(p→q)Λ(q→r) →(p→r)
≡[~(p→q)v~(q→r)]v(p→r) (imp)
≡[~(~pvq)v~(~qvr)]v(~pvr) (imp)
≡[(pΛ~q)v(qΛ~r)]v(~pvr) (DM)
≡{[( pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)v~r]} v(~pvr) (dist)
≡{[( pvq)Λ(~qvq)]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (dist)
≡{[( pvq)ΛT]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (komp)
≡[( pvq)Λ(pv~r)Λ(~qv~r)]v(~pvr) (id)
≡{[(pvq)v~p]Λ[(pv~r)v~p]Λ[(~qv~r)v~p]}vr (dist)
≡{[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)v~r)]Λ[(~qv~r)]}v r (asso)
≡[( T vq)Λ(Tv~r)Λ[(~qv~r)]}v r (komp)
≡ [(TΛTΛ(~qv~r)]vr (id)
≡(~qv~r)vr (id)
≡~qv(~rvr) (asso)
≡~qv T (komp)
≡ T (id)

2. Distruktive Silogisma (DS)
pvq
~p
.˙. q
[(pvq)Λ~p]→q
≡(pΛ~p)v(qΛ~p)→q (dist)
≡ Fv(qΛ~p)→q (komp)
≡ (qΛ~p)→q (id)
≡ ~(qΛ~p)vq (imp)
≡ (~qvp)vq (DM)
≡ (pv~q)vq (kom)
≡ pv(~qvq) (asso)
≡ pv(qv~q) (kom)
≡ pvT (komp)
≡ T (id)

3. Konstruktive Dilema (KD)
(p→q)Λ(r→s)
(pvr)
.˙.qvs
{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(pvr)}→( qvs)
≡[(~pvq)Λ(~rvs)Λ(pvr)]→(qvs) (imp)
≡[(pΛ~q)v(rΛ~s)v(~pΛ~r)]v(qvs) (imp)
≡[( pΛ~q)v(rΛ~s)v(qvs)]v(~pΛ~r) (asso)
≡{[( pΛ~q)vq]v[(rΛ~s)vs]}v(~pΛ~r) (asso)
≡{[qv( pΛ~q)]v[sv(rΛ~s)]} v(~pΛ~r) (kom)
≡{[(qvp)Λ(qv~q]v[(svr)Λ(sv~s)]}v(~pΛ~r) (dist)
≡[(qvp)ΛT]v[(svr)ΛT]v(~pΛ~r) (komp)
≡[(qvp)v(svr)]v(~pΛ~r) (id)
≡(qvpvsvr)v(~pΛ~r) (asso)
≡(qvs)v(pvr) v(~pΛ~r) (asso)
≡(qvs)v[(pvr)v~(pvr)] (DM)
≡(qvs)vT (komp)
≡ T (id)

4. Distruktif Delema (KD)
(p→q)Λ(r→s)
~qv~s
.˙.~pv~r
{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(~qv~s)}→ (~pv~r)
≡[(~pvq)Λ(~rvs)Λ(~qv~s)}→ (~pv~r) (imp)
≡[(pΛ~q)v(rΛ~s)v(qΛs)]v(~pv~r) (imp)
≡[(pΛ~q)v(qΛs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)] (asso)
≡{[(pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)vs]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (asso)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)]Λ[(pvs)Λ(~qvs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (dist)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rΛ~s)v~r]v~p} (asso)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rv~r)Λ(~sv~r)]v~p} (dist)
≡{[(pvq)Λ T Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[ T Λ(~sv~r)]v~p} (komp)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]v[(~sv~r)v~p] (id)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
≡[(pvq v~p)Λ(pvs v~p)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (dist)
≡{[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)vs]Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (asso)
≡[( T vq)Λ( T vs)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (komp)
≡(TΛ T)Λ(~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
≡(~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
≡(sv~sv)v(~pv~qv~r) (asso)
≡ T v (~pv~qv~r) (komp)
≡ T (id)

4. a) 1. Jika [(aVc) dan ~b] maka [jika (jika d maka c) maka f]
2. Jika ~a maka b
3. ~b / jadi [jika (jika d maka c) maka f]
4. a (2,3 MT)
5. aVc (4 Add)
6. (aVc) dan ~b (3,5 konj)
7. Jika (jika d maka c) maka f. (1,6 MP)

b) 1. Jika e maka (f dan ~g)
2. Jika (fVg) maka h
3. e / jadi h
4. f dan ~g (1,3 MP)
5. f (4 Sim)
6. fVg (5 Add)
7. h (2,6 MP)

c) 1. Jika e maka f
2. Jika e maka g / jadi jika e maka (f dan g)
3. ~eVf (1 Imp)
4. ~eVg (2 Imp)
5. (~eVf) dan (~eVg) (1,4 Konj)
6. ~e V (f dan g) (5 dist)
7. Jika e maka (f dan g) (6 Imp)

d) 1. (~u V v) dan (u V v)
2. Jika ~x maka ~w /jadi v V x
3. v V (~u dan u) (3 Dist)
4. v V F (4 Komp)
5. v (5 Komp)
6. v V x (6 Add)

e)1. Jika e maka f
2. Jika g maka f /jadi jika (e V g) maka f
3. ~e V f (1 Imp)
4. ~g V f (2 Imp)
5. (~e V f) dan (~g V f) (3,4 Konj)
6. (~e dan ~g) V f (5 Dist)
7. ~(e V g) V f (6 DM)
8. Jika (e V g) maka f (7 Imp)

f) 1. ( jika s maka t) dan ( jika u maka v)
2. Jika w maka (s V u) / jadi jika w maka (t V v)
3. (s maka t) (1 simp)
4. (Jika s maka t) V u (3 Add)
5. Jika ( s V u) maka (t V u) (4 dist)
6. jika w maka (t V u) (2,5 MT)
7. (Jika u maka v) (1 simp)
8. (Jika u maka v) V t (7 Add)
9. Jika ( u V v) maka ( v V t) (8 dist)
10. Jika ( t V u) maka ( t V v) (7 komp)
11. Jika w maka ( t V v ) (6,8 MT)

5. a)b : Saya belajar
` n : Saya mendapat nilai baik
s : Saya bersenang - senang
1. Jika b maka n
2. Jika ~b maka s / jadi n V s
3. Jika ~n maka ~b (1 Trans)
4. Jika ~n maka s (2,3 Sil)
5. n V s (4 Imp)

b)p : Persediaan perak tetap
t : Penggunaan perak meningkat
n : Harga perak naik
s : Bermunculan spekulan - spekulan
1. Jika (p dan t) maka n
2. Jika (jika t maka n) maka s
3. p / jadi s
4. Jika P maka (jika t maka n) (1 Eksp)
5. Jika p maka s (4,2 HS)
6. s (5,3 MP)

c) h: harga jatuh
u: upah naik
a: dagang eceran meningkat
i : kesibukan iklan meningkat
k: pedagang kecil mendapat uang banyak
1. Jika ( h V u ) maka (a dan i)
2. Jika a maka k
3.~k / jadi ~h
4. ~a (2,3 MT)
5. ~aV~i (4 Add)
6. ~(a dan i) (5 DM)
7.~(h V u) (1,6 MT)
8.~h dan ~u (7 DM)
9. ~h ( 8 simp)

d) b: Adam menumpang bus
k: Adam menumpang kereta api
m: Adam mengendarai mobil sendiri
l: Adam terlambat
h: Adam kehilangan bagian pertama
1. b V k
2. Jika ( b V m ) maka ( l dan h)
3. ~l / jadi k
4. Jika ~b maka k (1 impl)
5. ~(b V m) V (l dan h) (2 impl)
6. ~(b dan m) (5 id)
7. b V m (6 DM)
8. Jika ~b maka m (7 impl)
9. Jika m maka ~b (8 komp)
10. Jika m maka a (4,9 sil)
11. ~m atau k (10 impl)
12. k (11 id)