TUGAS 3 PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

BUKTIKAN KEABSAHAN ATURAN PENYIMPULAN BERIKUT:
1. Silogisme
p→q
q→r
.˙. p→r

(p→q)Λ(q→r) →(p→r)
≡[~(p→q)v~(q→r)]v(p→r) (imp)
≡[~(~pvq)v~(~qvr)]v(~pvr) (imp)
≡[(pΛ~q)v(qΛ~r)]v(~pvr) (DM)
≡{[( pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)v~r]} v(~pvr) (dist)
≡{[( pvq)Λ(~qvq)]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (dist)
≡{[( pvq)ΛT]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (komp)
≡[( pvq)Λ(pv~r)Λ(~qv~r)]v(~pvr) (id)
≡{[(pvq)v~p]Λ[(pv~r)v~p]Λ[(~qv~r)v~p]}vr (dist)
≡{[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)v~r)]Λ[(~qv~r)]}v r (asso)
≡[( T vq)Λ(Tv~r)Λ[(~qv~r)]}v r (komp)
≡ [(TΛTΛ(~qv~r)]vr (id)
≡(~qv~r)vr (id)
≡~qv(~rvr) (asso)
≡~qv T (komp)
≡ T (id)

2. Distruktive Silogisma (DS)
pvq
~p
.˙. q
[(pvq)Λ~p]→q
≡(pΛ~p)v(qΛ~p)→q (dist)
≡ Fv(qΛ~p)→q (komp)
≡ (qΛ~p)→q (id)
≡ ~(qΛ~p)vq (imp)
≡ (~qvp)vq (DM)
≡ (pv~q)vq (kom)
≡ pv(~qvq) (asso)
≡ pv(qv~q) (kom)
≡ pvT (komp)
≡ T (id)

3. Konstruktive Dilema (KD)
(p→q)Λ(r→s)
(pvr)
.˙.qvs
{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(pvr)}→( qvs)
≡[(~pvq)Λ(~rvs)Λ(pvr)]→(qvs) (imp)
≡[(pΛ~q)v(rΛ~s)v(~pΛ~r)]v(qvs) (imp)
≡[( pΛ~q)v(rΛ~s)v(qvs)]v(~pΛ~r) (asso)
≡{[( pΛ~q)vq]v[(rΛ~s)vs]}v(~pΛ~r) (asso)
≡{[qv( pΛ~q)]v[sv(rΛ~s)]} v(~pΛ~r) (kom)
≡{[(qvp)Λ(qv~q]v[(svr)Λ(sv~s)]}v(~pΛ~r) (dist)
≡[(qvp)ΛT]v[(svr)ΛT]v(~pΛ~r) (komp)
≡[(qvp)v(svr)]v(~pΛ~r) (id)
≡(qvpvsvr)v(~pΛ~r) (asso)
≡(qvs)v(pvr) v(~pΛ~r) (asso)
≡(qvs)v[(pvr)v~(pvr)] (DM)
≡(qvs)vT (komp)
≡ T (id)

4. Distruktif Delema (KD)
(p→q)Λ(r→s)
~qv~s
.˙.~pv~r
{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(~qv~s)}→ (~pv~r)
≡[(~pvq)Λ(~rvs)Λ(~qv~s)}→ (~pv~r) (imp)
≡[(pΛ~q)v(rΛ~s)v(qΛs)]v(~pv~r) (imp)
≡[(pΛ~q)v(qΛs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)] (asso)
≡{[(pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)vs]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (asso)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)]Λ[(pvs)Λ(~qvs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (dist)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rΛ~s)v~r]v~p} (asso)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rv~r)Λ(~sv~r)]v~p} (dist)
≡{[(pvq)Λ T Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[ T Λ(~sv~r)]v~p} (komp)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]v[(~sv~r)v~p] (id)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
≡[(pvq v~p)Λ(pvs v~p)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (dist)
≡{[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)vs]Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (asso)
≡[( T vq)Λ( T vs)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (komp)
≡(TΛ T)Λ(~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
≡(~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
≡(sv~sv)v(~pv~qv~r) (asso)
≡ T v (~pv~qv~r) (komp)
≡ T (id)

4. a) 1. Jika [(aVc) dan ~b] maka [jika (jika d maka c) maka f]
2. Jika ~a maka b
3. ~b / jadi [jika (jika d maka c) maka f]
4. a (2,3 MT)
5. aVc (4 Add)
6. (aVc) dan ~b (3,5 konj)
7. Jika (jika d maka c) maka f. (1,6 MP)

b) 1. Jika e maka (f dan ~g)
2. Jika (fVg) maka h
3. e / jadi h
4. f dan ~g (1,3 MP)
5. f (4 Sim)
6. fVg (5 Add)
7. h (2,6 MP)

c) 1. Jika e maka f
2. Jika e maka g / jadi jika e maka (f dan g)
3. ~eVf (1 Imp)
4. ~eVg (2 Imp)
5. (~eVf) dan (~eVg) (1,4 Konj)
6. ~e V (f dan g) (5 dist)
7. Jika e maka (f dan g) (6 Imp)

d) 1. (~u V v) dan (u V v)
2. Jika ~x maka ~w /jadi v V x
3. v V (~u dan u) (3 Dist)
4. v V F (4 Komp)
5. v (5 Komp)
6. v V x (6 Add)

e)1. Jika e maka f
2. Jika g maka f /jadi jika (e V g) maka f
3. ~e V f (1 Imp)
4. ~g V f (2 Imp)
5. (~e V f) dan (~g V f) (3,4 Konj)
6. (~e dan ~g) V f (5 Dist)
7. ~(e V g) V f (6 DM)
8. Jika (e V g) maka f (7 Imp)

f) 1. ( jika s maka t) dan ( jika u maka v)
2. Jika w maka (s V u) / jadi jika w maka (t V v)
3. (s maka t) (1 simp)
4. (Jika s maka t) V u (3 Add)
5. Jika ( s V u) maka (t V u) (4 dist)
6. jika w maka (t V u) (2,5 MT)
7. (Jika u maka v) (1 simp)
8. (Jika u maka v) V t (7 Add)
9. Jika ( u V v) maka ( v V t) (8 dist)
10. Jika ( t V u) maka ( t V v) (7 komp)
11. Jika w maka ( t V v ) (6,8 MT)

5. a)b : Saya belajar
` n : Saya mendapat nilai baik
s : Saya bersenang - senang
1. Jika b maka n
2. Jika ~b maka s / jadi n V s
3. Jika ~n maka ~b (1 Trans)
4. Jika ~n maka s (2,3 Sil)
5. n V s (4 Imp)

b)p : Persediaan perak tetap
t : Penggunaan perak meningkat
n : Harga perak naik
s : Bermunculan spekulan - spekulan
1. Jika (p dan t) maka n
2. Jika (jika t maka n) maka s
3. p / jadi s
4. Jika P maka (jika t maka n) (1 Eksp)
5. Jika p maka s (4,2 HS)
6. s (5,3 MP)

c) h: harga jatuh
u: upah naik
a: dagang eceran meningkat
i : kesibukan iklan meningkat
k: pedagang kecil mendapat uang banyak
1. Jika ( h V u ) maka (a dan i)
2. Jika a maka k
3.~k / jadi ~h
4. ~a (2,3 MT)
5. ~aV~i (4 Add)
6. ~(a dan i) (5 DM)
7.~(h V u) (1,6 MT)
8.~h dan ~u (7 DM)
9. ~h ( 8 simp)

d) b: Adam menumpang bus
k: Adam menumpang kereta api
m: Adam mengendarai mobil sendiri
l: Adam terlambat
h: Adam kehilangan bagian pertama
1. b V k
2. Jika ( b V m ) maka ( l dan h)
3. ~l / jadi k
4. Jika ~b maka k (1 impl)
5. ~(b V m) V (l dan h) (2 impl)
6. ~(b dan m) (5 id)
7. b V m (6 DM)
8. Jika ~b maka m (7 impl)
9. Jika m maka ~b (8 komp)
10. Jika m maka a (4,9 sil)
11. ~m atau k (10 impl)
12. k (11 id)

TUGAS 2 PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

EXERCISE 1
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:
1. (pΛq)→r
• Konvers : r→(pΛq)
• Invers : ~ (pΛq)→ ~r
(~pV~q)→~r
• Kontraposisi : ~r→~pV~q
2. p→(qΛr)
• Konvers : (qΛr) → p
• Invers : ~p →(~qV~r)
• Kontraposisi : (~qV~r)→ ~p
3. ~p→(qΛ~r)
• Konvers : (qΛ~r)→ ~p
• Invers : p→(~qVr)
• Kontraposisi : (~qVr) → p
4. (pV~q)→(qΛr)
• Konvers : (qΛr)→ (pV~q)
• Invers : (~pΛq)→(~qV~r)
• Kontraposisi : (~qV~r)→ (~pΛq)
5. (~qΛ~r)→(~pVq)
• Konvers : (~pVq)→ (~qΛ~r)
• Invers : (qVr)→(pΛ~q)
• Kontraposisi : (pΛ~q)→ (qVr)
6. (qV~r)→(pΛr)
• Konvers : (pΛr)→ (qV~r)
• Invers : (~qΛr)→(~pV~r)
• Kontraposisi : (~pV~r)→ (~qΛr)

EXERCISE 2
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan:
1. Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun
• Konvers : Jika harganya turun maka hasil produksi melimpah
• Invers : Jika hasil produksi tidak melimpah maka harganya tidak turun
• Kontraposisi : Jika harganya tidak turun maka hasil produksi tidak melimpah
2. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat
• Konvers : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak
• Invers : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran tidak meningkat
• Kontraposisi : Jika pengangguran tidak meningkat maka lapangan pekerjaan banyak
3. Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat
• Konvers : Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar
• Invers : Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat
• Kontraposisi : Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar
4. Jika x>10 maka x2>100
• Konvers : Jika x2>100 maka x>10
• Invers : Jika x≤10 maka x2≤100
• Kontraposisi : Jika x2≤100 maka x≤10
5. Jika x2-16=0,maka x=4 atau x=-4
• Konvers : Jika x=4 atau x=-4 maka x2-16=0
• Invers : Jika x2-16≠0 maka x≠4 dan x≠-4
• Kontraposisi : Jika x≠4 dan x≠-4 maka x2-16≠0
6. Jika sin x=90-cos y,maka x merupakan sudut lancip
• Konvers : Jika x merupakan sudut lancip maka sin x=90-cos y
• Invers : Jika sin x≠90-cos y maka x bukan merupakan sudut lancip
• Kontraposisi : Jika x bukan merupakan sudut lancip maka sin x≠90-cos y
7. Jika tan x=1,maka x=135° dan x=315°
• Konvers : Jika x=135° dan x=315° maka tan x=1
• Invers : Jika tan x≠1,maka x≠135° atau x≠315°
• Kontraposisi : Jika x≠135° atau x≠315° maka tan x≠1
EXERCISE 3
Buatlah kalimat berkuantor!
1. Semua bilangan cacah anggota bilangan real.
2. Terdapat bilangan genap yang merupakan anggota bilangan prima.
3. Setiap bilangan prima mempunyai dua factor.
4. Semua bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan b≠0.